Question

9．已知函数$f（x）=\frac{{-{3^x}+a}}{{{3^{x+1}}+b}}$．
（1）当a=b=1时，求满足f（x）=3^x的x的取值；
（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数存在t∈R，不等式f（t²-2t）＜f（2t²-k）有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据3^x+1=3•3^x，可将方程f（x）=3^x转化为一元二次方程：3•（3^x）²+2•3^x-1=0，再根据指数函数范围可得${3^x}=\frac{1}{3}$，解得x=-1，
（2）先根据函数奇偶性确定a，b值：a=1，b=3，再利用单调性定义确定其单调性：在R上递减．最后根据单调性转化不等式f（t²-2t）＜f（2t²-k）为t²-2t＞2t²-k即t²+2t-k＜0在t∈R时有解，根据判别式大于零可得k的取值范围．

解答 解：（1）由题意，当a=b=1时，$\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+1}}={3^x}$，化简得3•（3^x）²+2•3^x-1=0
解得${3^x}=-1（舍）或{3^x}=\frac{1}{3}$，所以x=-1．
（2）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）+f（x）=0，
所以$\frac{{-{3^x}+a}}{{{3^{-x+1}}+b}}+\frac{{-{3^x}+a}}{{{3^{x+1}}+b}}=0$化简并变形得：（3a-b）（3^x+3^-x）+2ab-6=0
要使上式对任意的x成立，则3a-b=0且2ab-6=0解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}}\right.}\right.$，
因为f（x）的定义域是R，所以$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}}\right.$舍去，
所以a=1，b=3，所以$f（x）=\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+3}}$，
①$f（x）=\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+3}}=\frac{1}{3}（{-1+\frac{2}{{{3^x}+1}}}）$
对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有：$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{3}（{\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}}）=\frac{2}{3}（{\frac{{{3^{x_2}}-{3^{x_1}}}}{{（{{3^{x_1}}+1}）（{{3^{x_2}}+1}）}}}）$
因为x₁＜x₂，所以${3^{x_2}}-{3^{x_1}}＞0$，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在R上递减．因为f（t²-2t）＜f（2t²-k），所以t²-2t＞2t²-k，
即t²+2t-k＜0在t∈R时有解
所以△=4+4t＞0，解得：t＞-1，
所以k的取值范围为（-1，+∞）

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的定义以及函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．