题目内容
数列{an}的各项均为正数，Sn其前n项和，对于任意的n∈N*总有an，Sn，an2成等差数列
（1）求a1；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=
，求证：对任意正整数n，总有Tn＜2．
（1）求a1；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=
| 1 |
| an2 |
考点：数列的求和,数列递推式
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）由已知：对于任意的n∈N*总有an，Sn，an2成等差数列，数列{an}的各项均为正数，可得2S1=a1+a12，即可求a1；
（2）由已知可得2Sn-1=an-1+an-12（n≥2从而导出an+an-1=（an+an-1）（an-an-1），利用an，an-1均为正数，所以an-an-1=1（n≥2），由此推出an=n．
（3）利用放缩、裂项法，即可证明结论．
（2）由已知可得2Sn-1=an-1+an-12（n≥2从而导出an+an-1=（an+an-1）（an-an-1），利用an，an-1均为正数，所以an-an-1=1（n≥2），由此推出an=n．
（3）利用放缩、裂项法，即可证明结论．
解答：
解：（1）由已知：对于任意的n∈N*总有an，Sn，an2成等差数列，数列{an}的各项均为正数，
∴2S1=a1+a12，解得a1=1
（2）由已知：对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2）②
①②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列．
∴an=n．
（3）bn=
=
＜
-
（n≥2）
当n=1时，Tn=b1=1＜2，
当n≥2时，Tn=
+
+…+
＜1+（1-
）+（
-
）+…+（
-
）=2-
＜2，
∴对任意正整数n，总有Tn＜2．
∴2S1=a1+a12，解得a1=1
（2）由已知：对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2）②
①②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列．
∴an=n．
（3）bn=
| 1 |
| an2 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
当n=1时，Tn=b1=1＜2，
当n≥2时，Tn=
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
∴对任意正整数n，总有Tn＜2．
点评：本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用及等差关系关系的确定，这是重点也是难点，属于中档题
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