Question

8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点．$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}=2$，BC=2，则$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$=$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知结合向量的加减法法则求出${\overrightarrow{DE}}^{2}$，进一步求得$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$的值．

解答 解：如图，
∵D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点，
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}$=${\overrightarrow{DE}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}$=2，
∴${\overrightarrow{DE}}^{2}=2+1=3$，
∵$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$，
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}=-\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}{\overrightarrow{DE}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{1}{4}×3-1=-\frac{1}{4}$，
故答案为：$-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，是中档题．