Question

如图，DA⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-CD-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明DE∥平面ABC；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E-CD-B的余弦值．

解答： 解：（1）取BC的中点F，连结EF，
则EF∥PC∥DA，且EF=

1

2

PC=DA=1，
则四边形ADEF是平行四边形，
即DE∥AF，
∵DE?平面ABC，AF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（2）∵DA⊥平面ABC，DA∥PC，
∴PC⊥平面ABC，
∵∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，
∴分别以DA，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图，
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），
则E（0，

1

2

，1），则

D1M

=（1，0，-1），

MB1

=（1，2，1），
设

n

=（x，y，z）是平面ECD的法向量，

CD

=(1，0，1)，

CE

=(0，

1

2

，1)，
则

CD • n =x+z=0 CE • n = y 2 +z=0

，
令z=1，则x=-1，y=-2，则

n

=（-1，-2，1），
设

m

=（x，y，z）是平面BCD的法向量，
∵

CD

=(1，0，1)，

CB

=(0，1，0)，
∴

CD • m =x+z=0 CB • m =y=0

，
令z=1，则x=-1，则

m

=（-1，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

2

6 × 2

=

3

3

．
易知二面角E-CD-B为锐角，
故二面角E-CD-B的余弦值为

3

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间二面角的计算，利用向量法是解决本题的关键．空间二面角的基本方法．