Question

如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB⊥BC，且A₁A=AB=BC=1，CD=2．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）在线段CD上是否存在点N，使得D₁N∥平面A₁BC？若存在，求出此时三棱锥N-AA₁C的体积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）易证明BC⊥AB₁，AB₁⊥A₁B，故AB₁⊥平面A₁BC；
（2）存在点N，取CD的中点N，易证平行四边形ABCN为正方形和D₁N∥A₁B，D₁N∥平面A₁BC，求三棱锥的体积，求出底面的面积和高，利用三棱锥体积公式即可

解答： 解：（1）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁侧棱与底面垂直，BC?底面ABCD，且A₁A=AB=BC=1
∴B₁B⊥BC，四边形B₁BAA₁为正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵AB⊥BC，AB∩B₁B=B，
∴BC⊥平面B₁BAA₁，
∵AB₁?平面B₁BAA₁，
∴BC⊥AB₁，
∵A₁B∩BC=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC，
（2）存在点N，
取CD的中点N，连接AN，AD₁，D₁N，
∵CD=2，AB=1，
∴CN=

1

2

CD=1=AB，
又AB∥CD，
∴四边形ABCN为平行四边形
∵AB⊥BC，AB=BC=1，
∴平行四边形ABCN为正方形，
∴AN∥BC，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁侧棱与底面垂直，
∴平面B₁BAA₁∥平面CDD₁C₁，
∵D₁N?平面CDD₁C₁，A₁B?平面B₁BAA₁，
∴D₁N∥A₁B，
∵D₁N∩AN=N，D₁N，AN?平面AND₁，A₁B∩BC=B，A₁B，BC?平面A₁BC，
∴平面AND₁∥平面A₁BC，
∵D₁N?平面AND₁，
∴D₁N∥平面A₁BC，
在三棱锥N-AA₁C，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁侧棱与底面垂直，
∴A₁A⊥平面ANC，
又平行四边形ABCN为正方形，
∴S_△ACN=

1

2

×1×1=

1

2

，
∵A₁A=1，
∴V_N-AA1C=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是一个非常适合作为高考题目出现的问题，题目包含的知识点比较全面，重点突出．