Question

甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元，甲超市前n（n∈N₊）年的总销售额为

a

2

（n²-n+2）万元；从第二年开始，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多（

2

3

）^n-1a万元．
（Ⅰ）设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a_n，b_n万元，求a_n，b_n的表达式；
（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购．若今年（2014年）为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为S_n，则S_n=

a

2

（n²-n+2）（n≥2），从而a_n=

a，n=1 (n-1)a，n≥2

，由此能求出b_n=[3-2（

2

3

）^n-1]a．（n∈N^*）．
（2）当n=2时，a₂=a，b₂=

3

5

a，有a₂＞

1

2

b₂；n=3时，a₃=2a，b₃=

19

9

a，有a₃＞

1

2

b₃；当n≥4时，a_n≥3a，而b_n＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．由此能求出2020年年底乙超市将被甲超市收购．

解答： 解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为S_n，
则S_n=

a

2

（n²-n+2）（n≥2），因为n=1时，a₁=a，
则n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

a

2

（n²-n+2）-

a

2

[（n-1）²-（n-1）+2]=a（n-1），
故a_n=

a，n=1 (n-1)a，n≥2

，
又b₁=a，n≥2时，b_n-b_n-1=（

2

3

）^n-1a，
故b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=a+

2

3

a+（

2

3

）²a+…+（

2

3

）^n-1a
=[1+

2

3

+（

2

3

）²+…+（

2

3

）^n-1]a
=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

a
=[3-2（

2

3

）^n-1]a，显然n=1也适合，
故b_n=[3-2（

2

3

）^n-1]a．（n∈N^*）．
（2）当n=2时，a₂=a，b₂=

3

5

a，有a₂＞

1

2

b₂；
n=3时，a₃=2a，b₃=

19

9

a，有a₃＞

1

2

b₃；
当n≥4时，a_n≥3a，而b_n＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．
当n≥4时，令

1

2

a_n＞b_n，则

1

2

（n-1）a＞[3-2（

2

3

）^n-1]a
n-1＞6-4•（

2

3

）^n-1．即n＞7-4•（

2

3

）^n-1．
又当n≥7时，0＜4•（

2

3

）^n-1＜1，
故当n∈N^*且n≥7时，必有n＞7-4•（

2

3

）^n-1．
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市将被甲超市收购．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．