Question

19．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-3+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（-2，-3），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sin θ+4cos θ，可得ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，利用互化公式即可得出直角坐标方程；直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-3+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程．
（2）把直线l的参数方程改写为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=-3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入到圆C方程中，得t²-（4+5$\sqrt{3}$）t+33=0，设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，由直线标准参数方程下t的几何意义知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sin θ+4cos θ，
所以ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，
所以x²+y²-4x-4y=0，
即（x-2）²+（y-2）²=8；
直线l的普通方程为$\sqrt{3}$x-y+2$\sqrt{3}$-3=0..…（5分）
（2）把直线l的参数方程改写为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=-3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入到圆C：x²+y²-4x-4y=0中，
得t²-（4+5$\sqrt{3}$）t+33=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=33．
点P（-2，-3）显然在直线l上，
由直线标准参数方程下t的几何意义知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|=33，
所以|PA|•|PB|=33..…（12分）

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程参数方程化为普通方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．