Question

15．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=af（x）（a＞0）；②当1≤x≤2时，$f（x）=\frac{1}{2}|sin（πx）|$．若分别以函数f（x）的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上，则a的值为1或2．

Answer 1

分析 当1≤x≤2时，对应的点A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）；当2≤x≤4时，对应的点A₂（3，$\frac{a}{2}$）；当4≤x≤8时，对应的点A₃（6，$\frac{1}{2}$a²）；
A₁，A₂，A₃三点共线，由斜率相等得a的值为1或2；

解答 解：当1≤x≤2时，$f（x）=\frac{1}{2}|sin（πx）|$，极值为f（$\frac{3}{2}$）=1，对应的点A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
当2≤x≤4时，f（x）=a|f（$\frac{x}{2}$）|=$\frac{1}{2}$a|sin$\frac{π}{2}x$|，极值为f（3）=a，对应的点A₂（3，$\frac{a}{2}$）；
当4≤x≤8时，f（x）=a²|f（$\frac{x}{2}$）|=$\frac{1}{2}$a²|sin$\frac{π}{2}x$|，极值为f（6）=a，对应的点A₃（6，$\frac{1}{2}$a²）；
∵分别以函数f（x）的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上，∴A₁，A₂，A₃三点共线，由斜率相等得a的值为1或2；
经检验，当a=1时，直线方程为y=$\frac{1}{2}$，当a=2时，直线为y=$\frac{1}{3}x$，符合题意．
故答案为：1，2

点评 本题考查了函数的图象、性质，考查了数形结合思想、转化思想，属于中档题．