Question

4．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，（x＞0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，若f（a）＞f（-a）+2，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，2）
• B． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）
• C． （-$\frac{1}{2}$，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，2）

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，（x＞0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，结合对数的运算性质，分类讨论满足f（a）＞f（-a）+2的a值范围，综合可得答案．

解答 解：若a＞0，则f（a）＞f（-a）+2可化为：${log}_{2}a＞{log}_{\frac{1}{2}}a+2$，
即log₂a＞1，
解得：a＞2，
若a＜0，则f（a）＞f（-a）+2可化为：${log}_{\frac{1}{2}}（-a）＞{log}_{2}（-a）+2$，
即${log}_{\frac{1}{2}}（-a）＞1$，
解得：$-\frac{1}{2}$＜a＜0，
综上实数a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，0）∪（2，+∞），
故选：C

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，难度中档．