Question

12．如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是F₁（-2，0），F₂（2，0），且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2．
（1）求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程；
（2）若直线l经过双曲线的右焦点F₂，并与双曲线交于M，N两点，向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1）是直线l的法向量，点P是双曲线左支上的一个动点，求△PMN面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的定义，结合焦点坐标求出a，b即可得到结论．
（2）根据直线的法向量求出直线的斜率，利用直线和双曲线联立，求出相交弦MN的长度，利用平移直线法求出和l平行的直线和双曲线的左支相切时P的位置，进行求解即可．

解答 解：（1）∵双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴双曲线的焦点在x轴，且c=2，
∵双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2．
∴2a=2，则a=1，b²=c²-a²=4-1=3，
则双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
离心率e=$\frac{c}{a}$=3，渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．
（2）设直线l的方向向量为$\overrightarrow{a}$=（1，k），
∵向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1）是直线l的法向量，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{n}$=2-k=0，
则k=2，
即直线的斜率k=2，
则直线的方程为y-0=2（x-2），
即y=2x-4．代入x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得x²-$\frac{1}{3}$（2x-4）²=1，
整理得x²-16x+19=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=16，x₁x₂=19，
则|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5[1{6}^{2}-4×19]}$=$\sqrt{900}$=30，
设和y=2x-4平行的直线方程为y=2x+m，（m＞0）
但直线y=2x+m与双曲线的左支相切时，
代入入x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得x²-$\frac{1}{3}$（2x+m）²=1，
整理得x²+4mx+m²+3=0，
则判别式△=16m²-4（m²+3）=0
得m²=1，则m=1或m=-1（舍），
此时点P是直线和双曲线相切的切点，此时点P到MN的距离d=$\frac{|-4-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
即△PMN面积的最小值S=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}×30×\sqrt{5}$=15$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及直线和双曲线相交时弦长的计算，利用设而不求的数学以及平移直线法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．