Question

14．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． $\sqrt{2}$x±y=0
• B． x±$\sqrt{3}$y=0
• C． x±$\sqrt{2}$y=0
• D． $\sqrt{3}$x±y=0

Answer 1

分析 根据的等边三角形的性质，建立方程关系得到a，b的关系即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：∵右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，
∴tan∠OFB₁=tan30°=$\frac{O{B}_{1}}{OF}$，
即$\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则b²=$\frac{1}{3}$c²=$\frac{1}{3}$（a²+b²），
即a²=2b²，
则a=$\sqrt{2}$b，
即双曲线的渐近线方程为y=$±\frac{b}{a}x$=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
则x±$\sqrt{2}$y=0，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据正三角形的边长关系建立a，b的关系是解决本题的关键．