Question

4．经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l₁和l₂，l₁交y轴正半轴于点A，l₂交x轴正半轴于点C．若存在经过O，A，B，C四点的圆C，则圆C半径的取值范围是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由AB⊥BC，OA⊥OC，可知总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径，分类讨论，确定A、C的坐标，表示出AC，即可求得结论．

解答 解：因为AB⊥BC，OA⊥OC，
所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．
①若l₁⊥y轴，则l₂∥y轴，此时四边形OABC为矩形，|AC|=$\sqrt{5}$．
②若l₁与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$．
所以直线l₁的方程为y-2=k（x-1），从而A（0，2-k）；
直线l₂的方程为y-2=-$\frac{1}{k}$（x-1），从而C（2k+1，0）．
令$\left\{\begin{array}{l}{2-k＞0}\\{2k+1＞0}\end{array}\right.$，解得k∈（-$\frac{1}{2}$，2），注意到k≠0，
所以k∈（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，2）．
此时|AC|²=（2-k）²+（2k+1）²=5k²+5＞5，|AC|＞$\sqrt{5}$，
所以半径的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得圆C半径的取值范围是：[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查确定直线位置的几何要素，直线的倾斜角和斜率，过两点的直线斜率的计算公式，直线方程的点斜式，两条直线平行或垂直的判定，圆的标准方程，属于中档题．