Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调区间，求出函数的极大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{{ax}^{2}+1}{x}$-----------（1分）
当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；----------（3分）
当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，
当x∈（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）时，f′（x）＞0；当x∈（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）内单调递增，在（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）内单调递减．---------（6分）
（Ⅱ）当a≥0时，由（1）可知f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）不可能有两个零点；-------（8分）
当a＜0时，由（1）得，函数f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）内单调递增，在（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）内单调递减，
且当x趋近于0和正无穷大时，f（x）都趋近于负无穷大，故若要使函数f（x）有两个零点；--------（10分）
则f（x）的极大值f（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）＞0，即$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$ln（-a）＞0，解得-e^-1＜a＜0，
所以a的取值范围是（-e^-1，0）---------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．