Question

14．已知函数f（x）=x²+2ax，x∈[-5，5]．
（1）若y=f（x）-2x是偶函数，求f（x）的最大值和最小值；
（2）如果f（x）在[-5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数是偶函数，列出方程求出a，然后利用二次函数配方法求解函数的最值即可．
（2）利用二次函数的对称轴与区间，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）因为y=f（x）-2x=x²+2ax-2x=x²+（2a-2）x是偶函数，
所以2a-2=0，a=1，…..（3分）
则f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，x∈[-5，5]，那么$f（x）_{max}^{\;}=f（5）=35$，
f（x）_min=f（-1）=-1．                                  …..（6分）
（2）因为f（x）在[-5，5]上是单调函数，
又因对称轴为$x=-\frac{2a}{2}=-a$
所以-a≤-5或-a≥5，解得a≥5或a≤-5，
则实数a的取值范围是（-∞，-5]∪[5，+∞）…..（12分）

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．