Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$．
（1）求f（x）定义域和值域．
（2）若f（x）＞$\sqrt{6}$，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意函数解析式有意义，9^x-3^x≥0可得定义域．因为9^x≥3^x，函数f（x）在定义内是增函数．利用单调性求解即可得函数的值域．
（2）由题意：f（x）＞$\sqrt{6}$，即$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$＞$\sqrt{6}$，采用两边平方法求解即可．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$．
函数解析式有意义，9^x-3^x≥0，
解得：x≥0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≥0}．
∵9^x≥3^x
∴函数f（x）=$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$在定义内是增函数．
当x=0时，函数f（x）取得最小值0，
所以函数f（x）的值域为[0，+∞）．
（2）由题意：f（x）＞$\sqrt{6}$，即$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$$＞\sqrt{6}$，
两边平方，可得：9^x-3^x＞6，
整理化简：（3^x-3）（3^x+2）＞0．
得：3^x＞3，即：x＞1．
故得实数x的取值范围（1，+∞）．

点评 本题考查了指数函数的运算，定义域值域的求法和解不等式．属于基础题．