Question

15．（Ⅰ）已知中心在原点的椭圆C的右焦点F（1，0），离心率等于$\frac{1}{2}$，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求与双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$有共同的渐近线，且过点$（-3，2\sqrt{3}）$的双曲线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b²=a²-c²求出b²，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，λ≠0，把点（0，-8）代入，能求出双曲线方程

解答 解：（Ⅰ）由题意设椭圆的方程为C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，
又离心率等于$\frac{1}{2}$，所以a=2，则b²=a²-c²=3．
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
（Ⅱ）解：∵双曲线与$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$有共同的渐近线，且过点$（-3，2\sqrt{3}）$，
∴设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，λ≠0，
把点$（-3，2\sqrt{3}）$代入，得：λ=$\frac{1}{4}$
∴双曲线方程为$\frac{4{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故双曲线的方程为：$\frac{4}{9}{x^2}-\frac{y^2}{4}=1$

点评 本题考查椭圆、双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用