Question

17．设幂函数f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的图象过点$（\sqrt{2}，2）$．
（1）求k，a的值；
（2）若函数h（x）=-f（x）+2b$\sqrt{f（x）}$+1-b在[0，2]上的最大值为3，求实数b的值．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的定义和性质进行求解即可求k，a的值；
（2）若函数h（x）=-f（x）+2b$\sqrt{f（x）}$+1-b在[0，2]上的最大值为3，利用一元二次函数的性质即可求实数b的值．

解答 解：（1）设幂函数f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的图象过点$（\sqrt{2}，2）$．
则a-1=1，即a=2，此时f（x）=x^k，
即$（\sqrt{2}）^{k}={2}^{\frac{k}{2}}$=2，即$\frac{k}{2}$=1，解得k=2；
（2）∵a=2，k=2，
∴f（x）=x²，
则h（x）=-f（x）+2b$\sqrt{f（x）}$+1-b=-x²+2bx+1-b
=-（x-b）²+1-b+b²，
若b＜0，则函数h（x）在[0，2]上单调递减，最大值为h（0）=1-b=3，即b=-2，满足条件．
若0≤b≤2，此时当x=b时，最大值为h（b）=1-b+b²=3，
即b²-b-2=0，解得b=2或b=-1（舍）．
若b＞2，则函数h（x）在[0，2]上单调递增，最大值为h（2）=3b-3=3，即b=2，不满足条件
综上b=-2或b=2．

点评 本题主要考查幂函数的定义和性质的应用以及一元二次函数的性质，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．