Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，∠CAB=60°，AC=4，BC=2$\sqrt{7}$
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0），|φ|＜$\frac{π}{2}$的图象经过
A、C、B三点，且A、B为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及余弦定理可：c²-4c-12=0，解得c的值，利用三角形面积公式即可得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（-2，0），B（4，0），C（0，2$\sqrt{3}$），又函数f（x）的半个周期$\frac{T}{2}$=6，对称轴为x=1，由周期公式可求T，ω，由$f（1）=Msin（\frac{π}{6}•1+ϕ）=M$，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$可求φ，又$f（0）=Msin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$，即可求得M，从而可求函数f（x）的解析式．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中由余弦定理可知：${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$，
∴c²-4c-12=0，
∴c=|AB|=6，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•4•6sin\frac{π}{3}=6\sqrt{3}$．
（Ⅱ） T=2×6=12，
∴$ω=\frac{π}{6}$，
∵$f（1）=Msin（\frac{π}{6}•1+ϕ）=M$，
∴$sin（\frac{π}{6}+φ）=1$，
∴$\frac{π}{6}+φ=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{3}$．
又∵$f（0）=Msin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$，
∴M=4，
∴$f（x）=4sin（\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}）$．

点评 本题考查解三角形和三角函数图象及性质等知识，考查学生运算求解能力、数据处理能力及推理论证能力，考查学生数形结合思想、函数与方程思想及转化与化归思想，属于中档题．