Question

如图：AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（Ⅰ）求证：CF=BF；
（Ⅱ）若AD=4，⊙O的半径为6，求BC的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）法一：连接CO交BD于点M，由已知条件推导出Rt△CEO≌Rt△BMO，由此能证明CF=BF．
（Ⅰ）法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，由已知条件推导出∠CBD=∠CNB，由此能证明CF=BF．
（Ⅱ）由O，M分别为AB，BD的中点，得到EB，由此以求出BC．

解答： （Ⅰ）证法一：连接CO交BD于点M，如图1…（1分）
∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD
又∵OC=OB，∴Rt△CEO≌Rt△BMO…（2分）
∴∠OCE=∠OBM…（3分）
又∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC…（4分）
∴∠FBC=∠FCB，∴CF=BF…（5分）
（Ⅰ）证法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，如图2…（1分）
∵AB是直径且CN⊥AB于点E
∴∠NCB=∠CNB…（2分）
又∵弧CD=弧BC，∴∠CBD=∠CNB…（3分）
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF…（4分）
∴CF=BF…（5分）
（Ⅱ）∵O，M分别为AB，BD的中点
∴OM=2=OE
∴EB=4…（7分）
在Rt△COE中，CE=

OC2-OE2

=4

2

…（9分）
∴在Rt△CEB中，BC=

CE2+BE2

=4

3

．…（10分）

点评：本题考查线段相等的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．