Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+$\frac{1}{2}$（ω＞0），与f（x）图象的对称轴x=$\frac{π}{3}$相邻的f（x）的零点为x=$\frac{π}{12}$．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$上的单调性；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=1，若向量$\overrightarrow m$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow n$=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先确定函数的解析式，再讨论函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$上的单调性；
（Ⅱ）求出C，利用$\overrightarrow m=（{1，sinA}）$与向量$\overrightarrow n=（{2，sinB}）$共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①，由余弦定理得，c²=a²+b²$-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab②，即可求a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1+cos2ωx}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$=$sin（{2ωx-\frac{π}{6}}）$
由与f（x）图象的对称轴$x=\frac{π}{3}$相邻的零点为$x=\frac{π}{12}$，得$\frac{1}{4}•\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{3}$$-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，
所以ω=1，即$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{6}}）$
令$z=2x-\frac{π}{6}$，函数y=sinz单调增区间是$[{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}]$，k∈Z，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-$$\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z，
设$A=[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$，$B=\left\{{\left.x\right|-\frac{π}{6}+kπ≤x≤}\right.$$\left.{\frac{π}{3}+kπ，k∈Z}\right\}$，
易知$A∩B=[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$，
所以当$x∈[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$时，f（x）在区间$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$上单调递增，在区间$[{\frac{π}{3}，\frac{5π}{12}}]$上单调递减．
（Ⅱ）$f（C）=sin（{2C-\frac{π}{6}}）-1=0$，则$sin（{2C-\frac{π}{6}}）=1$，
因为0＜C＜π，所以$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
从而$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
解得$C=\frac{π}{3}$．
因为$\overrightarrow m=（{1，sinA}）$与向量$\overrightarrow n=（{2，sinB}）$共线，所以sinB=2sinA，
由正弦定理得，b=2a①
由余弦定理得，c²=a²+b²$-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab②
由①②解得a=1，b=2

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查向量知识的运用，考查正弦、余弦定理的运用，属于中档题．