Question

10．对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），如果同时满足下列三条：
①对任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥0；
②若x₁≥0，x₂≥0，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立；
③若0≤x₁＜x₂＜1，则$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1．
则称函数f（x）为超级囧函数，则下列是超级囧函数的为（3）．
（1）f（x）=sinx
（2）g（x）=$\frac{1}{4}{x^2}$（x∈[0，1]）
（3）h（x）=2^x-1；
（4）p（x）=ln（x+1）

Answer 1

分析 根据超级囧函数的定义，分别判断函数是否满足条件即可得到结论．

解答 解：对于（1）不满足①对任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥0，故（1）不是超级囧函数；
对于（2），g（x）=$\frac{1}{4}{x^2}$（x∈[0，1]），则g（x₁+x₂），g（x+1）可能没意义，故故（2）不是超级囧函数；
对于（3），函数h（x）=2^x-1（x∈[0，+∞）上满足h（x）≥0，
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则h（x₁+x₂）-[h（x₁）+h（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）
=2^x₁+x₂-2^x₁-2^x₂+1）=（2^x₁-1）（2^x₂-1）≥0，
即h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），
要满足0≤x₁＜x₂＜1，则$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1，只需f（x₁+1）-f（x₂-1）＜（x₁+1）-（x₂+1），即函数G（t）=f（t）-t在[1，2）上递增即可．函数h（x）=2^x-1显然满足，故（3）是超级囧函数；
对于（4），x₁≥0，x₂≥0时，p（x₁+x₂）-[p（x₁）+p（x₂）]=ln$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+1}{{（x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=ln$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+1}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}+1}$≤0，故不满足②若x₁≥0，x₂≥0，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，故（4）不是超级囧函数；
故答案为：（3）

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据函数的定义分别判断条件已经利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．属于中档题．