Question

6．如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接三角形，
DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．

Answer 1

分析 过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，根据DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表达式，由根的判别式可得${x^2}≤\frac{1}{2}$，即可求正方形DEFG面积的最大值．

解答 解：过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，
设AN=h，DE=x=MN=DG，
∴$\frac{1}{2}$BC•h=1，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故$\frac{DG}{BC}=\frac{AM}{AN}$，即$\frac{x}{\frac{2}{h}}=\frac{h-x}{h}$，
∴h²x-2h+2x=0，
由根的判别式可得${x^2}≤\frac{1}{2}$，即正方形最大面积为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．