Question

16．已知曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，得ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=9，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出曲线C的普通方程．
（2）由${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，得$\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{9}+{sin^2}θ$，由OA⊥OB，设A（ρ₁，α），则B点的坐标可设为$（{ρ_2}，α±\frac{π}{2}）$，由此能求出$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$的值．

解答 解：（1）由${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，得ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=9，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，
得到曲线C的普通方程是$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．                 …（5分）
（2）因为${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，
所以$\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{9}+{sin^2}θ$，
由OA⊥OB，设A（ρ₁，α），则B点的坐标可设为$（{ρ_2}，α±\frac{π}{2}）$，
所以$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=$\frac{{{{cos}^2}α}}{9}+{sin^2}α$$+\frac{{{{sin}^2}α}}{9}+{cos^2}α$=$\frac{1}{9}+1=\frac{10}{9}$．       …（10分）

点评 本题考查曲线的普通方程的求法，考查两线段平方的倒数和的求法，是中档题，解题时要认真审题，极坐标方程、直角坐标方程互化合理运用．