题目内容

为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生500名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240]，得到频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人；
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：
利用时间充分利用时间不充分总计
走读生
住宿生10
总计
据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？
（3）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；
参考公式：K2=
n(n11n22-n12n21)2
n1+n2+n+1n+2
．
考点：频率分布直方图,独立性检验的应用
专题：应用题,概率与统计
分析：（1）根据频率直方图，利用频率=
频数
样本容量
，求出样本容量n，以及第④组的频率和
频率
组距
，补全频率分布直方图即可；
（2）由频率分布直方图，计算抽取的“走读生”以及利用时间不充分的人数，利用2×2列联表，计算K2的值，即可得出正确的判断；
（3）求出X的所有可能取值以及对应的概率，求出X的分布列与数学期望值．
解答： 解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），
由图可知：P1=
1
3000
×30=
1
100
，P2=
1
750
×30=
4
100
；
∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=
5
100
；
由题意：n×
5
100
=5，
∴n=100；…（2分）
又P3=
1
375
×30=
8
100
，P5=
1
100
×30=
30
100
，
P6=
1
120
×30=
25
100
，P7=
1
200
×30=
15
100
，P8=
1
600
×30=
5
100
；
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=
12
100
；
∴第④组的高度为：h=
12
100
×
1
30
=
12
3000
=
1
250
；
补全频率分布直方图如图所示：

（注：未标明高度1/250扣1分）…（4分）
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，
从而2×2列联表如下：

利用时间充分利用时间不充分总计
走读生301545
住宿生451055
总计7525100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得；  …（6分）
K2=
100(30×10-45×15)2
(30+45)(15+10)(30+15)(45+10)
=
100
33
≈3.030；
因为3.030＜3.841，
所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；…（8分）
（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，
则X的所有可能取值为0，1，2，3；
∴P（X=0）=
C
0
5
•C
3
5
C
3
10
=
1
12
，P（X=1）=
C
1
5
•C
2
5
C
3
10
=
5
12
，
P（X=2）=
C
2
5
•C
1
5
C
3
10
=
5
12
，P（X=3）=
C
3
5
•C
0
5
C
3
10
=
1
12
；…（10分）
∴X的分布列为：
X0123
P
1
12
5
12
5
12
1
12
∴EX=0×
1
12
+1×
5
12
+2×
5
12
+3×
1
12
=
18
12
=
3
2
；…（12分）
（或由超几何分布的期望计算公式EX=n×
M
N
=3×
5
10
=
3
2
）．
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了2×2列联表的应用问题，考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的计算问题，考查了计算能力的应用问题，是综合性题目．
练习册系列答案
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A、30(
3
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B、120(
3
-1)m
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2
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π
2
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A、[2
5
，2
7
]
B、（2
5
，2
7
]
C、[2
6
，2
7
]
D、（2
6
，2
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]
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