题目内容
如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；
（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？
考点：函数模型的选择与应用
专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．
（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ-7），注意角θ的取值范围；
（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x
，注意x的取值范围；
（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；
方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．
（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ-7），注意角θ的取值范围；
（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x
| 351-28x-4x2 |
（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；
方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．
解答：
解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．
（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．
在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON-OM=10cosθ-3.5，
故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ-3.5）=10sinθ（20cosθ-7）．
即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ-7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=
．
（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．
在Rt△ONF中，NF=
=
=
．
在矩形EFGH中，EF=2NF=
，FG=MN=x，
故S=EF×FG=x
．
即所求函数关系是S=x
，（0＜x＜6.5）．
（2）方法一：选择（i）中的函数模型：
令f（θ）=sinθ（20cosθ-7），
则f′（θ）=cosθ（20cosθ-7）+sinθ（-20sinθ）=40cos2θ-7cosθ-20．
由f′（θ）=40cos2θ-7cosθ-20=0，解得cosθ=
，或cosθ=-
．
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=
．
设cosα=
，且α为锐角，
则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，
所以当θ=α，即cosθ=
时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．
即MN=10cosθ-3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．
方法二：选择（ii）中的函数模型：
因为S=
，
令f（x）=x2（351-28x-4x2），
则f′（x）=-2x（2x-9）（4x+39），
因为当0＜x＜
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当
＜x＜
时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=
时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．
即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．
（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．
在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON-OM=10cosθ-3.5，
故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ-3.5）=10sinθ（20cosθ-7）．
即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ-7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=
| 7 |
| 20 |
（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．
在Rt△ONF中，NF=
| OF2-ON2 |
| 100-(x+3.5)2 |
|
在矩形EFGH中，EF=2NF=
| 351-28x-4x2 |
故S=EF×FG=x
| 351-28x-4x2 |
即所求函数关系是S=x
| 351-28x-4x2 |
（2）方法一：选择（i）中的函数模型：
令f（θ）=sinθ（20cosθ-7），
则f′（θ）=cosθ（20cosθ-7）+sinθ（-20sinθ）=40cos2θ-7cosθ-20．
由f′（θ）=40cos2θ-7cosθ-20=0，解得cosθ=
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| 8 |
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=
| 4 |
| 5 |
设cosα=
| 4 |
| 5 |
则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，
所以当θ=α，即cosθ=
| 4 |
| 5 |
即MN=10cosθ-3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．
方法二：选择（ii）中的函数模型：
因为S=
| x2(351-28x-4x2) |
令f（x）=x2（351-28x-4x2），
则f′（x）=-2x（2x-9）（4x+39），
因为当0＜x＜
| 9 |
| 2 |
当
| 9 |
| 2 |
| 13 |
| 2 |
所以当x=
| 9 |
| 2 |
即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．
点评：本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．
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| 4 |
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| ||
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| ||
C、点（
| ||
D、直线x=
|