Question

5．设$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是两个相互垂直的单位向量，且$\overrightarrow a=-2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=\overrightarrow{e_1}-λ\overrightarrow{e_2}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，求λ的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$则存在唯一的μ使$\overrightarrow b=μ\overrightarrow a$，解得所求参数的值．
（Ⅱ）$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$则$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，解得所求参数的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$则存在唯一的μ使$\overrightarrow b=μ\overrightarrow a$，∴$\overrightarrow{e_1}-λ\overrightarrow{e_2}$=$μ（{-2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}}）$．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{1=-2μ}\\{-λ=-μ}\end{array}}\right.⇒λ=μ=-\frac{1}{2}$，
∴当$λ=-\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$；
（Ⅱ）$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$则$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
∴$（{-2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}}）$$•（{\overrightarrow{e_1}-λ\overrightarrow{e_2}}）=0$
化简得$-2{\overrightarrow{e_1}^2}+（{2λ-1}）\overrightarrow{e_1}•\overrightarrow{e_2}+λ{\overrightarrow{e_2}^2}=0$，
∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是两个相互垂直的单位向量，
∴λ=2
∴当λ=2时，$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$．

点评 本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式得应用．