Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$-a是奇函数
（1）求实数a的值；
（2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＜m-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数定义知，有f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求a值；
（2）设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，通过作差判断f（x₂）与f（x₁）的大小，利用函数单调性的定义可作出判断；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，等价于m-1＞f（x）_max，根据基本函数的值域可求出f（x）_max．

解答 解：（1）由f（x）是奇函数，有f（-x）=-f（x），
∴$\frac{{3}^{-x}}{{3}^{-x}+1}$-a=-（$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$-a），
∴2a=1，∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{x}+1}$，f（x）在R上是增函数，
下证：设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，且x₁、x₂是任意的，
f（x₁）-f（x₂）
=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{{x}_{1}}+1}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{{3}^{{x}_{1}}{-3}^{{x}_{2}}}{（1{+3}^{{x}_{1}}）（1{+3}^{{x}_{2}}）}$，
∵x1＜x2，∴${3}^{{x}_{1}}$＜${3}^{{x}_{2}}$，
∴$\frac{{3}^{{x}_{1}}{-3}^{{x}_{2}}}{（1{+3}^{{x}_{1}}）（1{+3}^{{x}_{2}}）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数．
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＜m-1恒成立，
则只需m-1＞f（x）_max，
∵3^x+1＞1，∴0＜$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜1，
∴-1＜$\frac{-1}{{3}^{x}+1}$＜0，
-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，即-$\frac{1}{2}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴m-1≥$\frac{1}{2}$，∴m≥$\frac{3}{2}$，
即m的取值范围为：[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，对于函数奇偶性、单调性常用定义解决，而恒成立则往往转化为函数最值问题．