Question

16．已知点P在x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x，y）又满足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤\frac{x}{3}+2\\ y≤-x+2\end{array}\right.$，则$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行，且距离相等，可得方程；若点M的坐标（x，y）又满足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤\frac{x}{3}+2\\ y≤-x+2\end{array}\right.$，则$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值是（0，0）到直线x+2y+1=0的距离．

解答 解：由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行，且距离相等，方程是x+2y+1=0；
若点M的坐标（x，y）又满足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤\frac{x}{3}+2\\ y≤-x+2\end{array}\right.$，
则$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值是（0，0）到直线x+2y+1=0的距离，即$\frac{1}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：x+2y+1=0；$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．