Question

数列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，a_n+2-5a_n+1+a_n=0（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：构造数列{a_n+1+λa_n}为等比数列，有前三项分别为1+2λ，3+λ，14+3λ，求得λ，进而可求得结论．

解答： 解：因为数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，a_n+2=-a_n+5a_n+1（n∈N*），
设{a_n+1+λa_n}为等比数列，则前三项分别为1+2λ，3+λ，14+3λ，
∴（3+λ）²=（1+2λ）（14+3λ），
化简得λ²+5λ+1=0，
解得λ=

21 -5

2

或

-5- 21

2

．
∴{a_n+1+

21 -5

2

a_n}是首项为

21

-4公比为

5+ 21

2

的等比数列，
∴{a_n+1+

-5- 21

2

a_n}是首项为-

21

-4公比为

5- 21

2

的等比数列，
∴a_n+1+

21 -5

2

a_n=（

21

-4）(

5+ 21

2

)n-1，…①
a_n+1+

-5- 21

2

a_n=（-

21

-4）(

5- 21

2

)n-1，…②
以上①-②得-

21

a_n=（

21

-4）(

5+ 21

2

)n-1-（-

21

-4）(

5- 21

2

)n-1，
∴a_n=（

4 21

21

-1）(

5+ 21

2

)n-1-（

4 21

21

+1）(

5- 21

2

)n-1．

点评：本题主要考查利用递推公式求数列的通项公式，考查学生构造数列的数学思想方法的运用能力及运算求解能力，属于难题．