Question

已知函数f（x）=ax+

a-1

x

-lnx+1（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性
（2）当x∈（0，1）时，若不等式f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出f′（x）=

ax2-x-a+1

x2

．根据a的值进行分解讨论．
（2）分类得出f（x）_max＜1，根据（1）中得出当a≤

1

2

时，只需f（1）≤1；②当a≥1时，③当

1

2

＜a＜1都不符合恒成立，总结出a的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=

ax2-x-a+1

x2

．
当a=0时f′（x）=

1-x

x2

，
∴f（x）在（0，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当a≠0时，f′（x）=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

当a＜0时，

1-a

a

＜0，
∴f（x）在（0，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜

1

2

，

1-a

a

＞1∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，

1-a

a

）上单调递减，在[

1-a

a

，+∞）上单调递增；
当a=

1

2

，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
当

1

2

＜a＜1时，0＜

1-a

a

＜1，∴f（x）在（0，

1-a

a

）上单调递增，
在（

1-a

a

，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
当a≥1时，

1-a

a

＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
（2）当x∈（0，1）时，若不等式f（x）＜1恒成立，
∵通过（1）可知，①，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，
∴只需f（1）≤1，即a+a-1-ln1+1≤1，a≤

1

2

，
②当a≥1时，f（x）在（0，1）上单调递减，不可能恒成立，
③当

1

2

＜a＜1时，f（x）在（0，

1-a

a

）上单调递增，在（

1-a

a

，1）上单调递减，
f（x）_max=1-a-

1

a

-ln

1-a

a

，如果a→1时f（x）_max=1-a-

1

a

-ln

1-a

a

＞0
∴不符合题意，
综上：当x∈（0，1）时，若不等式f（x）＜1恒成立，实数a的取值范围：a≤

1

2

．

点评：运用导数判断单调性，关键是怎样分类讨论，把不等式恒成立问题转化为函数最值的比较，思维量大，属于难题．