Question

4．在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为R的函数：
f₁（x）=x+1，f₂（x）=x²，f₃（x）=sinx，f₄（x）=log₂（$\sqrt{{x^2}+1}$+x），f₅（x）=cosx+|x|，f₆（x）=xsinx-2．
（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件A为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件A的概率；
（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列，并求其数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义即可判断出f_i（x）的奇偶性，进而得出概率．
（2）利用古典概率计算公式、乘法原理可得P（ξ=k）（k=1，2，3，4），进而得出分布列与数学期望．

解答 解：（1）由题意得：f₃（x），f₄（x）是奇函数，
f₂（x），f₅（x），f₆（x）为偶函数，f₁（x）为非奇非偶函数，
所以P（A）=$\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}$．
（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为1，2，3，4．
P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}•{∁}_{5}^{1}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{2}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}{∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{3}{20}$，
P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}{∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{20}$．
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

所以Eξ=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{3}{20}$+4×$\frac{1}{20}$=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了函数奇偶性的判定、古典概率计算公式、乘法原理、随机事件的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．