Question

15．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ=4cosθ，直线l过点M（1，0）且倾斜角α=$\frac{π}{6}$．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，可得曲线C的直角坐标方程，设参数，可得直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求出圆心到直线的距离，即可求|AB|的值．

解答 解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x
即（x-2）²+y²=4
所以曲线C的直角坐标方程是（x-2）²+y²=4                …（3分）
又因为直线l过点M（1，0）且倾斜角α=$\frac{π}{6}$
所以直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数），
也就是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．…（5分）
（2）由（1）知曲线C的圆心C（2，0），半径r=2
而直线l的斜率$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以直线l的直角坐标方程是x-$\sqrt{3}$y-1=0  …（7分）
圆心到直线的距离d=$\frac{|2-1|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$，∴|AB|=2$\sqrt{4-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{15}$     …（10分）

点评 本题考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．