Question

14．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的半焦距为c，直线l过（c，0），（0，b）两点，若直线l与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{5}+1$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 由题意便知，直线l与渐近线y=$\frac{b}{a}$x垂直，而直线l的斜率可以求出，这样根据相互垂直的直线斜率的关系即可得到-$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}$=-1，通过该式解出即可．

解答 解：根据题意知，直线l与双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x垂直；
直线l的斜率为-$\frac{b}{c}$；
∴$\frac{b}{a}•（-\frac{b}{c}）$=-$\frac{{b}^{2}}{ac}$=-$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}$=-1；
∴e²-e-1=0；
∵e＞1，∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故选B．

点评 考查双曲线渐近线的概念及求法，直线的点斜式方程，由点的坐标求直线斜率的公式，以及相互垂直的直线的斜率的关系，双曲线离心率的概念及计算公式，解一元二次方程．