Question

14．已知函数 f（x）=$\frac{a}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²（ a∈R，a≠0）．
（1）求 f （ x ）的单调区间；
（2）当 x∈[0，1]时，经过函数 f （ x ）的图象上任意一点的切线的倾斜角 θ 总在区间[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π）内，试求实数 a 的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，分类讨论，利用导数的正负求 f （ x ）的单调区间；
（2）通过倾斜角 θ 总在区间[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π）内，求出斜率的范围，即可得到导函数的值域的范围，然后求a的取值范围．

解答 解：（1 ）f′（x）=ax（x+$\frac{1}{a}$），
当 a＞0时，f （ x ）的单调增区间为 （-∞，$\frac{1}{a}$）、（0，+∞），单调减区间为 （-$\frac{1}{a}$，0）；
当 a＜0时，f （ x ）的单调增区间为 （0，-$\frac{1}{a}$），单调减区间为（-∞，0）、（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）根据题意，有-1≤f′（ x ）≤1，
即-1≤ax ²+x≤1，当 x=0时，a∈R；
将a 分离出来得当 x≠0时，a≤$\frac{1-x}{{x}^{2}}$且a≥$\frac{-1-x}{{x}^{2}}$
所以a≤（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$且a≥-（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{x}∈[1，+∞）$．
所以-2≤a≤0．又因为 a≠0，
所以-2≤a＜0．

点评 本题考查函数的导数求解函数的单调性以及函数的切线的斜率的范围，导数的几何意义，考查计算能力．