Question

9．在如图所示的几何体中．EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积
（Ⅲ）求直线DE与平面EMC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由EA⊥平面ABC，结合线面垂直的判定可得平面EAM⊥平面ABC，由已知可得CM⊥AB，再由线面垂直的性质得到CM⊥平面CAM，进一步得到CM⊥EM；
（Ⅱ）由EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，可得四边形ABDE为直角梯形，由（Ⅰ）知CM⊥平面ABDE，再由棱锥体积公式求得多面体ABCDE的体积；
（Ⅲ）连结MD，解三角形可得DM⊥EM．再由CM⊥平面EMD得CM⊥DM，则DM⊥平面EMC，可得∠DEM是直线DE和平面EMC所成的角，则其正切值可求．

解答 （Ⅰ）证明：∵EA⊥平面ABC，EA?平面EAM，
∴平面EAM⊥平面ABC，且平面EAM∩平面ABCAB．
∵AC=BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，
则CM⊥平面CAM，
∴CM⊥EM；
（Ⅱ）解：∵EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，
∴四边形ABDE为平面图形，且为直角梯形，
由（Ⅰ）知CM⊥平面ABDE，
∵AC=BC=BD=2AE=2，
∴多面体ABCDE的体积V=V_C-ABDE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$；
（Ⅲ）解：连结MD，∵AC=BC=BD=2AE=2，
在直角梯形EABD中，AB=$2\sqrt{2}$，M是AB的中点．
∴EM=$\sqrt{3}$，MD=$\sqrt{6}$，DE=3，
由EM²+MD²=DE²，得DM⊥EM．
∵CM⊥平面EMD，∴CM⊥DM，得DM⊥平面EMC，
∴∠DEM是直线DE和平面EMC所成的角．
在Rt△EMD中，tan∠DEM=$\frac{MD}{EM}=\sqrt{2}$．
∴直线DE与平面EMC所成的角的正切值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查多面体体积的求法，训练了线面角的求法，属中档题．