Question

14．若一个三角形两内角α、β满足2α+β=π，则y=cosβ-6sinα的范围为（-5，-1）．

Answer 1

分析 先由：2α+β=π，结合配方法将y=cos（π-2α）-6siα转化为：y=2（sinα-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{11}{2}$，再令t=sinα∈（0，1），用二次函数的性质求解．

解答 解：∵一个三角形两内角α、β满足2α+β=π，∴α、β均大于零，∴2α＜π，∴α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
则y=cosβ-6sinα=cos（π-2α）-6sinα
=-cos2α-6sinα=2sin²α-6sinα-1=2（sinα-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{11}{2}$，
令t=sinα，根据α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得t∈（0，1），则y=2${（t-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{11}{2}$，
∴当t=0时，y=-1；当t=1时，y=-5，且函数y在（0，1）上单调递减，
∴y∈（-5，-1），
故答案为：（-5，-1）．

点评 本题主要考查角的变换及倍角公式在转化函数中的应用，一般来讲考查函数的性质时要转化为基本函数求解，要特别注意α的范围，这是解题的易错点，属于中档题．