Question

1．等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₂=2，S₅=15，数列{b_n}，b₁=1，对任意n∈N₊满足b_n+1=2b_n+1．
（Ⅰ）数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$，设数列{c_n}的前n项和T_n，证明：T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=2，S₅=15，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，解得a₁，d即可得出a_n．对任意n∈N₊满足b_n+1=2b_n+1．变形为b_n+1+1=2（b_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出b_n．
（II）c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=2，S₅=15，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∵对任意n∈N₊满足b_n+1=2b_n+1．∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∴数列{b_n+1}为等比数列，公比为2．
∴${b_n}+1=2•{2^{n-1}}$，∴${b_n}={2^n}-1$．
（II）证明：c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
则数列{c_n}的前n项和${T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
两式相减得，$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴${T_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}＜2$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．