Question

设a+2b=3，b＞0，则

1

2|a|

+

|a|

3b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由a+2b=3，b＞0，可得a=3-2b≠0．于是得到

1

2|a|

+

|a|

3b

=

1

2|3-2b|

+

|3-2b|

3b

=f（b）．通过对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．

解答： 解：∵a+2b=3，b＞0，
∴a=3-2b≠0
∴

1

2|a|

+

|a|

3b

=

1

2|3-2b|

+

|3-2b|

3b

=f（b）．
当b＞

3

2

时，f（b）=

1

2(2b-3)

+

2b-3

3b

，则f′（b）=

-1

(2b-3)2

+

1

b2

=

3(b-1)(b-3)

(2b2-3b)2

，
当

3

2

＜b＜3时，f′（b）＜0，函数f（b）单调递减；当b＞3时，f′（b）＞0，函数f（b）的单调递增．
又f′（3）=0，∴当b=3时，函数f（b）取得极小值，f（3）=

1

2

．
当0＜b＜

3

2

时，f（b）=

1

2(3-2b)

+

3-2b

3b

，
则f′（b）=-

3(b-1)(b-3)

(2b2-3b)2

，此时当b=1时，f（b）取得极小值，f（1）=

5

6

．
综上可知：当b=3时，函数f（b）取得最小值，f（3）=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论，属于中档题．