Question

将数字1，2，3，4，5，6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N_i（i=1，2，3）表示第i行中最大的数，则满足N₁＜N₂＜N₃的所有排列的种数是

 

（用数字作答）

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：由题设条件知N₃ 一定是6个数中最大的，由于第一行的数为N₁ ，第二、三行中的最大数分别为N₁ 、N₂ ，则满足N₁＜N₂＜N₃ 的所有排列可知6一定在第三行，下按N₂ 的取值情况分类计数即可．

解答： 解：首先N₃ 一定是6个数中最大的，故 N₃=6，且6在第三行，N₂ 一定是5，4，3中一个，
若N₂ 是2，则第二行另一个数只能是1，那么第一行的数就比2大，无法满足 N₁＜N₂＜N₃ ，
当N₂ 是5，N₁ 可以是4，3，2，1，满足条件的排列个数4×3×2×6=144个．
当N₂是4，N₁ 可以是3，2，1，此时5必须在第三行，满足条件的排列个数3×6×2×2=72个．
当N₂是3，N₁ 可以是e，f，此时c必须在第三行，满足条件的排列个数2×6×2×1=24个．
综上，总的符合条件的排列的个数为24+72+144=240，
故答案为240．

点评：本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是正确理解题意，分析处符合题设条件的排列方式，由于本题涉及的条件较多，结构复杂，故采取分类计数的方式，由于分类时涉及到的因素较多，使得本题容易出错，本题综合性强，需要灵活运用所学的知识解题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．