Question

已知函数f（x）=（x²+mx+5）e^x，x∈R，
（I）当m=5时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）没有极值点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（I）求导f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+5）e^x=[x²+（2+m）x+5+m]e^x，代入m=5，从而由导数的正负确定函数的单调区间；
（Ⅱ）f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+5）e^x=[x²+（2+m）x+5+m]e^x，且e^x＞0，g（x）=x²+（2+m）x+5+m的二次项系数大于0；从而得g（x）=x²+（2+m）x+5+m≥0对x∈R恒成立，从而解得．

解答： 解：（I）f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+5）e^x
=[x²+（2+m）x+5+m]e^x，
当m=5时，
f′（x）=e^x•（x+5）（x+2）；
故当x∈（-∞，-5），（-2，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-5，-2）时，f′（x）＜0，
故f（x）的单调增区间为（-∞，-5），（-2，+∞）；
单调减区间为（-5，-2）；
（Ⅱ）∵f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+5）e^x
=[x²+（2+m）x+5+m]e^x，
且e^x＞0，g（x）=x²+（2+m）x+5+m的二次项系数大于0；
若函数f（x）没有极值点，则
g（x）=x²+（2+m）x+5+m≥0对x∈R恒成立，
∴△=（2+m）²-4（m+5）=m²-16≤0，
解得，-4≤m≤4；
故m的取值范围为[-4，4]．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．