题目内容
已知抛物线y=ax2（a＞0）上两个动点A、B（不在原点），满足
⊥OB，若存在定点M，使得
=λ
+μ
且λ+μ=1，则M坐标为 ．
| OA |
| OM |
| OA |
| OB |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：由已知得A，B，M三点共线，于是问题转化为动直线过定点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=ax12，y2=ax22，由此利用点差法求出直线AB过定点（0，
），M点坐标是（0，
）．
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
解答：
解：由
=λ
+μ
，且λ+μ=1，
得
=λ
+(1-λ)
，
即
=λ
，
∴A，B，M三点共线，于是问题转化为动直线过定点，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=ax12，y2=ax22，
两式相减，得y1-y2=a（x1+x2）（x1-x2），
∴kAB=
=a(x1+x2)，
∴直线AB方程为y-y1=a（x1+x2）（x-x1），
即y=a（x1+x2）（x-x1）+y1=a（x1+x2）x-ax12-ax1x2+ax12=a（x1+x2）x-ax1x2，①
∵
⊥
，∴x1x2+y1y2=0，
即x1x2+ax12x22=0，∴a2x1x2=-1，②
把②代入①，得y=a（x1+x2）x+
，
∴直线AB过定点（0，
），M点坐标是（0，
）．
故答案为：（0，
）．
| OM |
| OA |
| OB |
得
| OM |
| OA |
| OB |
即
| BM |
| BA |
∴A，B，M三点共线，于是问题转化为动直线过定点，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=ax12，y2=ax22，
两式相减，得y1-y2=a（x1+x2）（x1-x2），
∴kAB=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
∴直线AB方程为y-y1=a（x1+x2）（x-x1），
即y=a（x1+x2）（x-x1）+y1=a（x1+x2）x-ax12-ax1x2+ax12=a（x1+x2）x-ax1x2，①
∵
| OA |
| OB |
即x1x2+ax12x22=0，∴a2x1x2=-1，②
把②代入①，得y=a（x1+x2）x+
| 1 |
| a |
∴直线AB过定点（0，
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
故答案为：（0，
| 1 |
| a |
点评：本题考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图，如图．
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=
如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面三角形BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为（ ）A、16
| ||||
B、8
| ||||
C、4
| ||||
D、
|