Question

（本小题满分14分）设和是函数的两个极值点，其中，.

（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；

（2）求的取值范围；

（3）若，求的最大值（是自然对数的底数）.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）结合导数的几何意义，可知在处的切线垂直于轴等价于，从而可列出关于的方程，即可求得的值；

（2）由条件和是函数的两个极值点且可知方程有两个不等的正根，，则，，再由一元二次方程根的分布可得，从而

，故的取值范围是；

（3）由（2）可知

，

因此可令，根据条件可得，从而，

构造函数（其中），问题即等价于在函数在上的最大值，利用导数判断其单调性即可求得的最大值． .

试题解析：（1）∵，∴，

∵，∴；（2）函数的定义域为，，

依题意，方程有两个不等的正根，（其中），故，

且，，∴

，故的取值范围是；

（3）当时，，若设，则

，于是有，

，

构造函数（其中），则，

∴在上单调递减，，故的最大值是．

考点：1.利用导数研究函数的极值；2.利用导数求函数在给定区间上的值域；3.一元二次方程根的分布.