Question

8．三棱锥D-ABC中，AB=CD=$\sqrt{6}$，其余四条棱均为2，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为7π．

Answer 1

分析 分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，
求出球的半径，再求球的表面积．

解答 解：分别取AB，CD的中点E，F，
连接相应的线段CE，ED，EF，
由条件，AB=CD=$\sqrt{6}$，
BC=AC=AD=BD=2，
可知△ABC与△ADB，
都是等腰三角形，
AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，
同理CD⊥EF，
∴EF是AB与CD的公垂线，
球心G在EF上，
可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）
DE=$\sqrt{{2}^{2}{-（\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，DF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EF=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{10}}{2}）}^{2}{-（\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}}$=1，
∴GF=$\frac{1}{2}$，
球半径DG=$\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴外接球的表面积为4π×DG²=7π．
故答案为：7π．

点评 本题考查了球的内接几何体以及球的表面积问题，也考查空间想象能力与计算能力．