题目内容
已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+2
=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证椭圆与直线y=x-2相切．
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）求证椭圆与直线y=x-2相切．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：计算题,证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由题设得，b=1，再由点到直线的距离公式，求出c，再由a，b，c的关系，求出b，从而得到椭圆的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式，即可得证．
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式，即可得证．
解答：
（1）解：由题意设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0）．
∵b=1，又设右焦点F为（c，0），
则
=3，解得c=
，∴a=
，
∴椭圆方程为
+y2=1．
（2）证明：联立直线方程y=x-2，和椭圆方程
+y2=1，
消去y得，x2+3x2-12x+12=3，整理得，4x2-12x+9=0，
显然判别式为122-4×4×9=0，
故椭圆与直线y=x-2相切．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵b=1，又设右焦点F为（c，0），
则
|c+2
| ||
|
| 2 |
| 3 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 3 |
（2）证明：联立直线方程y=x-2，和椭圆方程
| x2 |
| 3 |
消去y得，x2+3x2-12x+12=3，整理得，4x2-12x+9=0，
显然判别式为122-4×4×9=0，
故椭圆与直线y=x-2相切．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线与椭圆的位置关系：相切，只需联立方程，运用判别式为0．
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