题目内容
在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-
），（0，
）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线l：y=kx+1与C交于A、B两点，
（1）写出C的方程；
（2）若以AB为直径的圆过原点O，求直线l的方程．
| 3 |
| 3 |
（1）写出C的方程；
（2）若以AB为直径的圆过原点O，求直线l的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-
)，(0，
)为焦点，长半轴为2的椭圆．由此能求出曲线C的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，由此利用韦达定理、向量垂直结合已知条件能求出k=±
．
| 3 |
| 3 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
|
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以(0，-
)，(0，
)为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=
=1，
故曲线C的方程为x2+
=1． …（5分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
其坐标满足
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，…（7分）
故x1+x2=-
，x1x2=-
． …（8分）
因为
⊥
，即x1x2+y1y2=0．
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-
-
-
+1=0，
化简得-4k2+1=0，
所以k=±
．
所以直线方程为y=±
x+1．…（12分）
点P的轨迹C是以(0，-
| 3 |
| 3 |
长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=
22-(
|
故曲线C的方程为x2+
| y2 |
| 4 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
其坐标满足
|
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，…（7分）
故x1+x2=-
| 2k |
| k2+4 |
| 3 |
| k2+4 |
因为
| OA |
| OB |
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-
| 3 |
| k2+4 |
| 3k2 |
| k2+4 |
| 2k2 |
| k2+4 |
化简得-4k2+1=0，
所以k=±
| 1 |
| 2 |
所以直线方程为y=±
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
口算题天天练系列答案
相关题目
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，AB=4，BC=3，E是PD的中点．