Question

已知函数f（x）=x³+

1

2

a（4-a）x²-6x+28的导函数为g（x），

f(2)

g(1)

＜0．求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：求出函数的导数g（x），代入解不等式即可得到结论．

解答： 解：函数的导数为g（x）=f′（x）=3x²+a（4-a）x-6，
则g（1）=3+a（4-a）-6=-a²+4a-3，
f（2）=8+2a（4-a）-12+28=-2a²+8a+24，
∵

f(2)

g(1)

＜0．
∴

-2a2+8a+24

-a2+4a-3

=

2(a2-4a-12)

a2-4a+3

=

2(a+2)(a-6)

(a-1)(a-3)

＜0，
即

(a+2)(a-6)＜0 (a-1)(a-3)＞0

或

(a+2)(a-6)＞0 (a-1)(a-3)＜0

，
则

-2＜a＜6 a＞3或a＜1

或

a＞6或a＜-2 1＜a＜3

，
解得-2＜a＜1或3＜a＜6．

点评：本题主要考查不等式的求解，利用导数的运算求出g（x），以及根据分式不等式和一元二次不等式的解法是解决本题的关键．