Question

【题目】给定一个，是点关于直线的对称点，是点关于直线的对称点，是点关于直线的对称点.求的充分必要条件，使得是一个等边三角形.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

记，，.在中，

，..

利用余弦定理，有.

类似有..

因此，是一个等边三角形，当且仅当

. ①

从第一个等式，有.

利用正弦定理，有 . ②

由于

. ③

从②和③，有

.

从上式，有. ④

那么，有，或 . ⑤

从①的第二个等式出发，类似有

时，或. ⑥

当时，，如果，则是一个等边三角形，如果，则.于是，，由于，则

，..

那么，，；或..

当时，，从⑤必有. ⑧

如果，从上式，有.由于，则，有，；或，.

如果，⑥的第二式成立，从⑥的第二式及⑧，有， ⑨

，，再利用⑧，有，类似有，；或，.

因此，满足题目条件的是一个等边三角形，或者是顶角为或的等腰三角形.请读者自己验证这时等式①满足.