Question

【题目】已知数列的前项和满足，数列满足．

Ⅰ求数列和数列的通项公式；

Ⅱ令，若对于一切的正整数恒成立，求实数的取值范围；

Ⅲ数列中是否存在，且 使，，成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】Ⅰ，；Ⅱ或；Ⅲ 不存在，理由见解析．

【解析】

Ⅰ利用已知条件通过，说明数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求出的通项公式，然后求解的通项公式；Ⅱ求出，判断数列的单调性，结合对于一切的正整数恒成立，得到求解即可；Ⅲ假设存在，使，，成等差数列，推出说明是与条件矛盾，得到结论．

Ⅰ根据题意，数列满足，

当时，．当时，，，

即．

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列

所以，；

又由已知，得

Ⅱ依题意得，．

因为，

所以当时，取得最大值

因为对于一切的正整数n恒成立，

所以

解得或，

所以实数x的取值范围是或；

Ⅲ假设存在，使，，成等差数列，

则，即

两边同时除以，得

因为为偶数，为奇数，这与矛盾．

所以不存在，使，，成等差数列