Question

【题目】数列的首项，该数列是公比为的等比数列.记，.

（1）证明：当时，对一切，都有.

（2）当时，是否存在自然数，使得对任何自然数，都有？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）用数学归纳法.

时，；另一方面，在中

令，则有.可见时命题成立.

设时命题成立.即

.

则有

.

可见，时命题也成立.

综上所证知，对一切，命题成立.

（2）由知，的符号取决于的符号.因为，所以为奇数时，；为偶数时，.如果题目条件中的存在，则一定是偶数.

考查

.

可见，在的条件下，等式右端的符号取决于的符号.

又因为，所以与的符号相反或二者同时为0.

设，则有时，；

时，.

于是，是具有下列性质的项：

且.另外，显然对一切，，所以，.取，则对于任何，都有.