Question

15．如图，在△ABC中，∠B=$\frac{π}{3}$，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE=8，AC=4$\sqrt{10}$，∠CED=$\frac{π}{4}$．
（1）求CE的长
（2）若CD=5，求cos∠DAB的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可求∠AEC，在△AEC中，由余弦定理可得$C{E^2}+8\sqrt{2}CE-96=0$，即可解得CE的值．
（2）在△CDE中，由正弦定理可求$sin∠CDE=\frac{4}{5}$，利用同角三角函数基本关系式可求$cos∠CDE=-\frac{3}{5}$，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠DAB的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$∠AEC=π-\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$，…（1分）
在△AEC中，由余弦定理得AC²=AE²+CE²-2AE•CEcos∠AEC，…（2分）
∴$160=64+C{E^2}+8\sqrt{2}CE$，
∴$C{E^2}+8\sqrt{2}CE-96=0$，…（4分）
∴$CE=4\sqrt{2}$．…（5分）
（2）在△CDE中，由正弦定理得$\frac{CE}{sin∠CDE}=\frac{CD}{sin∠CED}$，…（6分）
∴$5sin∠CDE=4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$sin∠CDE=\frac{4}{5}$，…（7分）
∵点D在边BC上，
∴$∠CDE＞∠B=\frac{π}{3}$，
而$\frac{4}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CDE只能为钝角，…（8分）
∴$cos∠CDE=-\frac{3}{5}$，…（9分）
∴$cos∠DAB=cos（∠CDE-\frac{π}{3}）$，…（10分）
=$cos∠CDEcos\frac{π}{3}+sin∠CDEsin\frac{π}{3}$=$-\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{4\sqrt{3}-3}}{10}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．